「レスポンシブ対応（もしくはレスポンシブデザイン）」とは、ホームページ上に、PCやスマホ、タブレットのデバイスに関係なく同じURL、かつそれぞれのデバイスの幅に合わせて反応よく（レスポンシブに）サイトを表示させるようにすることを意味します。また、このようなサイトを構築する方法をレスポンシブWebデザインといいます。
なぜレスポンシブ対応が重要に？
元々、「Webサイト」といえば、PCから閲覧するのが基本でした。
そのため、画面比も3:4（今は16：9が主流になってきました）程度を基準としてデザインされています。
しかしここ10年程度でスマートフォンが急速に普及すると、不都合が出てきました。
今でも、サイトによっては文字が非常に小さく、また横に長く表示されてしまうことはありませんか？ ＰＣのディスプレイが横長なことに対し、スマートフォンのディスプレイは縦長なので、ＰＣ用のデザインでは横にスクロールする必要があり、大変見づらくなってしまうのです。
それに対応するため、当初は「ＰＣ用のページ」と「スマートフォン用のページ」を分け、閲覧するデバイスによって表示するページを変えるという手法をとっていました。
ただし、これにはSEO対策（検索上位表示）に問題があります。
クローラーと呼ばれるWebサイトを認識するプログラムは、これを「別のぺ－ジ」として認識し、PV数などのデータが分散してしまうため、検索されたとき上位に上がりにくくなってしまいます。
そのため、現在は「同じページを使って、画面サイズの横幅を基準に何通りかのデザインをする」ことが主流になっています。
当然、制作に関する工程が1.5～2倍になるので、費用も上がってしまいます。
最近では、PC対応不要でスマートフォンのみ対応するサイトを制作するというケースも増えてきているようです。
ちなみにレスポンシブWebデザインはGoogleで推奨されており、実際にGoogle ウェブマスター向け公式ブログでも下記のようにメリットが記載されています。（以下引用）
・PC 用のページとモバイル用のページを単一の（同一の） URL とすることができるため、ユーザーにとってはシェアやリンクが容易であり、Google のアルゴリズムにとってはコンテンツを適切にインデックスできるようになります。 ・ユーザーエージェントの異なる Googlebot ごとに、ページをクロールする必要がないため、 Google がより効率的にコンテンツを発見することができます。（引用終わり） 参照：https://webmaster-ja.googleblog.com/2012/06/google.html
GoogleはSEO上でメリットがあることを明確に記載しています。